Нелинейное уравнение теплопроводности

Линейное уравнение теплопроводности демонстрирует решение, которое с физической точки зрения вполне ожидаемо - с течением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается. 

Рис.1. Решение линейного уравнения

Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например, с нелинейным источником тепла f(x,t)=10³(T-T³). Если задать его в таком виде, то получится решение в форме тепловых фронтов, распространяющихся в обе стороны от зоны первичного нагрева (рис.3). 

Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять D(x,T)=T², а f(x,t)=10³T^3.5, то можно наблюдать эффект горения среды, локализованный в области ее первичного нагрева (рис.4). На рис.4  показаны 5,6,7 шаги по времени – температура за конечное время обращается в бесконечность. Это - так называемый S-режим горения "с обострением". Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно. 


Рис.3 – нелинейное уравнение (источник= Т ~ Т³) – автомодельное решение типа "тепловой фронт"

Рис.4 – нелинейный коэффициент диффузии D~Т3 и нелинейный источник ~Т3 – режим с обострением

---