Динамические системы > Примеры  > Аттрактор Лоренца 

Модель Лоренца

Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели. 

Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров (рис. 1-2) является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) - притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. В некотором смысле, аттрактор Лоренца является стохастическими автоколебаниями, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

Рис.1. Аттрактор Лоренца (решение)

Рис.2. Аттрактор Лоренца (Фазовый портрет и его сечение горизонтальной плоскостью)

Решение в виде странного аттрактора появляется только при некоторых сочетаниях параметров. В качестве примера на рис. 3 приведен результат для r=10 и тех же значениях остальных параметров. Как видно, аттрактором в этом случае является фокус. Перестройка типа фазового портрета происходит в области промежуточных r. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации. Физический смысл бифуркации в модели Лоренца, согласно современным представлениям, описывает переход ламинарного движения жидкости к турбулентному.

Рис.3. Решение системы Лоренца с измененным параметром r=10
Замечательно, что решение подобных нелинейных динамических систем можно получить только численно, поэтому их изучение стало бурно развиваться с ростом возможностей вычислительной техники в последние полвека.

Рис.4. Отображение Пуанкаре аттрактора Лоренца (вычислительный эксперимент)