Анализ данных > Спектральный анализ 

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

 
Интегральные преобразования массива выборочных значений сигнала y(x) ставят в соответствие всей совокупности данных y(x) некоторую функцию другой координаты F(v). Типичным интегральным преобразованием является преобразования Фурье

Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала y(x) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v) sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье, или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(v) в  исходный сигнал y(x). Согласно определению,
.
Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.
Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Алгоритм применим как для прямого, так и для обратного преобразованияе Фурье. Этот алгоритм настолько популярен, что реализован во встроенных функциях практически всех современных математических пакетов.
 
Существенным ограничением алгоритма БПФ является то, что аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор y, должен иметь ровно 2n элементов (n - целое число). Результатом является вектор с 1+2n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2n элементов. Однако данное ограничение решающей роли не играет. Если число данных не совпадает со степенью 2, то для запуска алгоритма достаточно дополнить недостающие элементы нулями.

Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис.1), приведен на рис.2. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных yi равен D=100/N. Обратите внимание, что результаты расчета мы представили в виде модуля Фурье-спектра (рис.2), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид:
.

        
Дополнительные сведения об идеологии спектрального анализа и его геофизических применениях, а также описание алгоритма БПФ Вы можете найти в книге  Бат,1980